Vragen
Vraag 1: Waarom wordt de Gulden snede een goddelijke verhouding genoemd?Vraag 2: Waarom wordt in de Renaissance centraalbouw het ideaaltype voor een kerkgebouw?
Vraag 3: Hoe bepaalt Palladio de hoogtes van ruimtes voor: a. ruimtes met vlakke plafonds; b. ruimtes met gewelfde plafonds?
Vraag 4: Benoem en omschrijf de 3 methode die Palladio gebruikt om de hoogtes van ruimtes te bepalen.
Vraag 5: Benoem en schets de 7 basisverhoudingen die Palladio hanteert voor de plattegronden voor ruimtes.
Vraag 6: Omschrijf en schets de ontdekking van Phythagoras dat tonen letterlijk meetbaar zijn.
Vraag 7: Wat is het Plastisch Getal?
Vraag 8: Hoe wordt het Plastisch Getal toegepast in de Abdij St. Benedictusberg?
Vraag 1: Waarom wordt de Gulden snede een Goddelijke verhouding genoemd?
De gulden snede staat ook bekend als de 'goddelijke verhouding', zien we terug in de zadenmotieven van planten, piramiden, gotische kathedralen en het menselijk lichaam.De gulden snede is een universeel symbool voor perfectie en schoonheid.
Architectuur met perfecte verhoudingen is natuurlijk een van de grootste en krachtigste uitdrukkingen van de gulden snede in heilige kunst. De gulden snede is: de verhouding tussen de menselijke geest en Gods heilige geest, die dezelfde is als de verhouding tussen de heilige geest en de goddelijke algeest.
De gulden snede komt ook in het menselijk lichaam voor. de gulden snede geeft de perfecte verhoudingen aan. De perfecte mens met goddelijke schoonheid. Zo werd de gulden snede vaak toegepast in kunst van het menselijk lichaam.
In 1509 heeft Luca Pacioli het boek De Divina Proportione oftewel de goddelijke verhouding gepubliceerd, hierin heeft hij aantal redenen geredeneerd hoe de Gulden snede de goddelijke verhouding heeft.
1 Uniciteit: Pacioli vergelijkt de unieke waarde van de gulden snede in de eenheid van God.
2. Incommensurabiliteit: voor Pacioli is de Gulden snede onvergelijkbaarheid, en de onvergelijkbaarheid van God zijn gelijkwaardig.
 |
| Gulden snede. |
Vraag 2: Waarom wordt in de Renaissance centraalbouw het ideaaltype voor een kerkgebouw?
In de renaissance ging men afwijken van de traditionele Latijnse kruis naar een centraal vorm plattegrond. Aanvankelijk was er discussie over waar alles nu zou komen te staan. Er wordt beweerd dat schoonheid voorrang kreeg boven de eisen van de kerk. De religie werd langzaam vervangen door de autonomie van de mens.
Alberti begint in 1450 met een lofrede van de cirkel. ‘De natuur zelf verkiest deze vorm boven alle andere’. Alberti dacht dat de echte tempels uit de oudheid ook rond of polygonaal waren. Zo waren de oude kerken en zo moesten ze weer worden. Hij wou terug naar de tijd van keizer Constantijn, toen de heidense oudheid samen ging met het christelijke geloof en de kerk nog maar 1 altaar had. Volgens Alberti moet een kerk volledig vrij, in het midden van een plein, op een verhoging staan.
Filarete zei, dat de cirkel een kalmerend gevoel op het gemoed heeft, want het oog kan de hele ronding over zien zonder dat het zicht onderbroken of gehinderd wordt.
 |
| Schetsen Centraalbouw, Francesco di Giorgio. |
Een discussie punt was het altaar, waar deze altijd zover mogelijk van de ingang was geplaatst, stond deze nu in eens in het midden. Dit werd verdedigt door te zeggen dat het centrum nu één en absoluut was en daarom gelijk aan Hem die alleen waarlijk is. Het sacrament moest in het midden geplaatst worden, daar waar alle lijnen van het gebouw samenkomen.
Leonardo Da Vinci, was het ook eens dat kerken gebouwd moesten worden volgens de centraalbouw.
Harmonisch:
Palladio gebruikt een aantal basisverhoudingen in plattegronden zoals te zien is in weekopdracht 3 Nr. 4. In villa Foscari komen de verhoudingen 3:4, 1:1,
In villa Foscari:
- 12 x 16 voet (3:4)
- 16 x 16 voet (1:1)
- 16 x 24 voet (2:3)
- Zaal is 32 voet breed.
Niet alleen de ruimtes op zich moeten kloppen volgens zijn ideeën, zoals dit normaalgesproken werd gedaan, maar heel het gebouw bestaat uit een bepaalde getallenreeks. Deze komt voort uit de muziek:
De muziek kent consonanties à Consonanten zijn samenklanken. Niet alle soorten tonen kun je zomaar samen aanslaan, dit klinkt niet altijd mooi. Hier zit en bepaald systeem in:
Kleine en grote terts, verhouding (5:6 en 4:5) http://nl.wikipedia.org/wiki/Terts_(muziek)
Kleine en grote sext, verhouding (5:8 en 3:5) http://nl.wikipedia.org/wiki/Sext_(muziek)
Bij villa Foscari heeft Palladio gekozen voor een verhouding 12, 16, 24, 32. Dit kan dus gezien worden als de toonsoort van het gebouw: de getallenreeks. Alle tonen die je aan zou slaan in een muziekstuk, moeten dus voort komen uit deze getallen.
Dus je kunt de helft van 12 gebruiken. Of de 2/3 van 24 of 3:4 van 32 etc. Allerlei combinaties zijn mogelijk, maar ze zijn gebaseerd op de getallenreeks 12, 16, 24, 32.
In het blog zijn de verhoudingen uit onze villa terug te vinden. Deze zijn dus allemaal terug te koppelen naar de getallenreeks die hij gebruikt heeft.
Bijlage:
Hier is te zien dat er twee keer een C D E F G A B wordt aangegeven. Van de ene C naar de andere (dit geldt ook voor de andere tonen) noemt met één octaaf. Er zijn dus meerdere octaven.
Lijst met consonanties:
1/1 reine priem, unisono
2/1 octaaf
3/2 reine kwint
4/3 reine kwart
4/1 dubbeloctaaf
5/2 grote decime
5/3 grote sext, BP sext
5/4 grote terts
6/5 kleine terts
… … …
125/72 klassieke overmatige sext
125/96 klassieke overmatige terts
125/108 supra-secunde
125/112 klassieke vergrote halve toon
126/125 klein septimaal komma
128/75 verminderde septiem
128/81 Pythagoreïsche kleine sext
128/105 septimale neutrale terts
128/121 undecimale halve toon
128/125 kleine diëze, diëze
… … …
1224440064/1220703125 parakleisma
6115295232/6103515625 Vishnu komma
274877906944/274658203125 semithirds komma
19073486328125/19042491875328 '19-toons' komma
450359962737049600/450283905890997363 monzisma
36893488147419103232/36472996377170786403 '41-toons' komma
19383245667680019896796723/19342813113834066795298816 Mercators komma
*Niet alle combinaties worden gebruikt, zelfs de grootste muziekanten uit de geschiedenis waren niet bezig met bijvoorbeeld de semithirds komma. Deze komt meer per toeval voor. De belangrijkste zijn de 1e 6. Deze komen het meest voor en worden als het meest prettig ervaren.
San Fransesco della Vigna, Venetië:
Het schip van de kerk is 9 dubbelpassen breed. Want het kwadraat van 3 = 9. 3
Waarom 3?: Drie is het eerste écht getal, omdat het een begin, midden en eind heeft. Drie is een goddelijk getal.
De lengte bestaat uit 3 x 9 = 27 dubbelpassen. Gebruik van getal 3, 9 en 27. (zie in: allemaal opgebouwd uit het getal drie.)
Het gaat echter niet om de getallen op zich, maar om de verhouding onderling. Het gebouw is dus opgebouwd uit een getallenreeks, alles is opgebouwd vanuit één reeks.
Dit komt voort uit de muziek: In het voorbeeld van deze kerk, verhoudt het gebouw een diapson (octaaf) en een diapente (kwint).
Octaaf: heeft in de muziek een verhouding van 1:2. Dat betekend dat als je een bepaalde toon aanslaat en daarna nog een, de tweede toon precies twee keer zo hoog of twee keer zo laag is.
Dit komt omdat de snaarlengte precies twee keer zo kort (hoge toon) of twee keer zo lang (lage toon) is. Deze sprong herhaalt zich meerder keren.
Kwint: heeft in de muziek een verhouding van 2:3. Dat betekend dat als je een bepaalde toon aanslaat en daarna nog een, de tweede toon precies 2/3 zoo hoog of 2/3 keer zo laag is. Dit komt omdat de snaarlengte precies 2/3 keer zo kort (hoge toon) of twee keer zo lang (lage toon) is. Deze sprong herhaalt zich meerdere keren.
Dit geldt ook voor een kwart: 3:4. Etc. etc.
Van hieruit kun je complete muziekstukken opbouwen. Zo heb je ook een consonantie (samenklank) die bestaat uit een octaaf en een kwint, of een octaaf en een kwart bijvoorbeeld. Er bestaat op deze manier een grote variatie in de muziek, maar deze variaties zijn altijd opgebouwd vanuit een bepaalde verhouding.
Pythagoras was degene die inzag dat als je een snaar precies de helft zo lang of kort maakte (verhouding 1:2, dus octaaf) de toonhoogten deze verhouding volgen. En zo ook dus voor de kwint en kwart etc. Daar van uit werden getallenreeksen opgezet. De belangrijkste uit de tijd staat hieronder weergegeven:
Octaaf: 1, 2, 4, 8 (x2)
Kwint: 1,3, 9, 27 (x3)
Daarmee ook de kwart en andere verhoudingen:
De harmonie van de wereld: de harmonie zoals de muziek deze kent, de harmonie zoals de mens hem kent. Deze verhoudingen onderling vormen ook consonanties. Dit komt dus terug in de gebouwen van Palladio.
Men geloofde dat de hele wereld was opgebouwd, of in ieder geval op gebouwd hoorde te worden met als grondslag deze verhoudingen. Het begint met een eenheid, zich verdubblend tot de derde macht van twee, dat aich verdrievoudigd tot de derde macht van drie (3^3 = 27). De wereld is 3D, dus verder dan de derde macht van drie kan men niet gaan. Deze dimensie bestaat niet. Daarom is 27 het ‘uiterste’ getal.
Hans van der Laan heeft twee wegen bewandeld. Hij heeft geëxperimenteerd met het op het oog sorteren van groottes, en een wiskundig pad gevolgd. Beide wegen voerden hem naar hetzelfde verhoudingsgetal.
Als wij op het oog iets doormidden delen, zijn de twee delen zelden precies gelijk. Toch noemen we ze ‘even groot’. Binnen een bepaald marge ervaren we dingen als ‘even groot’. Worden de grenzen van die marge overschreden dan ervaren we dingen als ‘groter’ of ‘kleiner’. Experimenterend concludeerde Van der Laan welk verhoudingsgetal die grenzen bepaalt. Wat grofweg driekwart (3/4) kleiner is, of omgekeerd dus eenderde (4/3) groter, zit voor ons gevoel op de grens van de marge waarbinnen we iets ’even groot’ noemen.
Het wiskundige pad dat hij volgde vertoont overeenkomsten met de Gulden Snede. De Gulden Snede gaat uit van twee dimensies, ook in veel klassieke architectuur kunnen we de toepassing van de Gulden Snede terugvinden. Van der Laan nam een principieel ander uitgangspunt. Omdat architectuur driedimensionaal is moet voor ruimtelijke verhoudingen uitgegaan worden van drie dimensies (hoogte, breedte en diepte). Dat leidt tot een ander verhoudingsgetal dan de Gulden Snede. Het is, om precies te zijn: 1,324718. Ter vergelijking, de Gulden Snede is 1,61803.
Het plastisch getal in driedimensionaal wiskundig uitgelegd:
Hans van der Laan heeft het de naam ‘Plastisch Getal’ gegeven, om aan te duiden dat het betrekking heeft op ‘plastische’, dus ruimtelijke, vormen
Voor een goed begrip: het Plastisch Getal legt geen maten vast, alsof je alleen bepaalde maten zou mogen gebruiken, maar is een maatstaf voor de verhouding tussen maten. Het is dus een verhoudingsgetal.
Orde van grootte
Hoe ervaart de mens het als verschillen in grootte te groot worden? Zo groot dat de verhoudingen zoek raken en je er geen eenheid meer in ziet? Het Plastisch Getal geeft een bepaalde verhouding weer. Maar als de onderlinge verschillen in de maten te groot worden, ziet men de eenheid niet meer. De verhouding bestaat dus nog wel, maar men ervaart het niet meer.
Van der Laan heeft (door middel van ingewikkelde wiskundige berekeningen) bepaald dat je net als in de muziek bij zeven opeenvolgende maten een samenhangende reeks hebt. Ter vergelijking: do-re-mi-fa-sol-la-ti-do. (8 ‘maten’, dus 7 stappen). Na deze 7 stappen, volgt de nieuwe orde van grootte.
Morphotheek (de blokkendoos)
De morphotheek, of te wel de blokkendoos, bestaat uit 36 verschillende vormen die verkregen zijn door acht maten uit het matenstelsel te combineren. Dit gebeurd door het basiselement te vermenigvuldigen met het plastisch getal 1.3247. Iedere rechthoekige vorm bestaat uit drie dimensies: lengte, breedte en hoogte. De hoogte is in de horizontale morphotheek reeks constant gehouden en in de verticale morphotheek reeks is de breedte constant. In het raster zijn er verschillende groepen zijn te herkennen; een groep met blokken (blauw), hierbij verschillen de drie maten lengte, breedte en hoogte niet zoveel van elkaar, een groep met staven (rood), hierbij is de lengte aanzienlijk langer dan de breedte en de hoogte, platen (groen) waarbij de breedte minder is dan de hoogte en de lengte en tot slotte de blanken, die zowel als een blok, staaf en plaat gezien kan worden. De basis van het raster start rechts onderin met een vierkant en gaat van recht naar links, van onderen naar boven.
Om uit te komen op het driedimensionale verhoudingssysteem, moeten enkele stappen worden gevolgd.
Het principe van de eerste stap uit het tweedimensionale blokkensysteem, kan het beste worden uitgelegd aan de hand van een voorbeeld:
Stel dat het kleinste blokje rechts onder 0.4 bedraagt. Het tweede blokje is dan het plastisch getal, 1.3247 keer groter in de lengte. Je krijgt een horizontale werking van rechts naar links. Het derde blokje is weer 1.3247 keer groter dan het tweede blokje. De som van de eerste en het tweede blokje geeft de lengte van het vierde blokje. Dit geeft het volgende:
Blokje 1: 0.4
Blokje 2: 0.4*1.3247=0.5298
Blokje 3: 0.5*1.3247=0.7019
Blokje 4: 0.7*1.3247=0.9298 dit is de som van het eerste en het tweede blokje (0.4+0.5298)
Etc.
Deze berekening gaat door tot en met acht. De reden hiervan zit in de muziek, waarbij de toonladder uit acht klanken bestaan. Wanneer een hele reeks gevormd is, word hetzelfde gedaan met de hoogte van het eerste blokje rechts onderin, in verticale richting van beneden naar boven. Hieruit ontstaat een raster, van 36 eenheden die bestaan uit blokken, staven, platen en blanken (zowel blok, staaf als plaat). Zoals eerder vermeld, vertolken deze ieder een eigen kleur;
Blauw = blokken
Rood = staven
Groen = platen
Wit = blanken (zowel blok, staaf als plaat)
In het raster bevindt zich een middellijn, waaronder de blokken, staven en platen gespiegeld zijn. In de volgende stap, gaan we kijken hoe het raster driedimensionaal wordt.
Enkel het onderste deel van de middellijn inclusief de vormen op de middellijn, worden gebruikt. Deze wordt verdubbeld, rechtop gezet en gespiegeld, waardoor er een tweede vlak ontstaat, aangrenzend aan de eerste (foto 1). Hierna worden er lijnen getrokken vanaf de rechterbovenhoek van het rechtopstaande vlak, naar de linkeronderhoek van het platte vlak. Dit gebeurd voor iedere rij elementen (foto 2). Daarna worden de blokken, staven en platen op de juiste hoogte gestapeld. Het grondvlak omvat alle elementen. Per rij, gezien vanaf het rechtopstaande vlak, wordt het een rij minder op het grondvlak (foto 3-4-5). De bovenste rij, bestaat uiteindelijk nog maar uit één element (foto 6).
Ook is er een matenreeks in de morphotheek te vinden. De verhoudingen van de verschillende elementen, hebben ook een betekenis. Deze zijn; 16 (1/7) 21 (1/5) 28 (1/4) 37 (1/3) 49 (3/7) 65 (4/7) 86 (3/4) 114 (1). In totaal dus acht, de acht klanken uit de toonladder. Zo komt ook hier de muziek weer terug in de verhoudingen, net zoals bij de goddelijke verhoudingen die de architecten tijdens de renaissance gebruikten.
Voor een goed beeld en extra informatie zie: http://www.morphothek.de/analyse_musterkirche.htm
Zoals uitgelegd vloeit er vanuit het proportiesysteem een georganiseerde structuur. (Blauw staat in verhouding tot groen en rood, rood tot groen en blauw etc.) Zoals Palladio een ‘toonsoort’ gebruikt voor zijn gebouwen, kan hier ook zo’n soort reeks toegepast worden. De getallen 1, 4/3, 7/4, 7/3, 3, 4, 16/3, 7 zijn het belangrijkst.
1) Gebouwstructuur. Kies basis figuren, van hieruit ga je opbouwen.
2) Gebouwstructuur. Bouw verder door figuren uit structuur te kiezen.
3) Gebouwstructuur. De hoofdstructuur is ontworpen.
Wanddiktes en de ruimtes daartussen.
Het proportiesysteem is verdeeld in 3x 10 delen. (30 in totaal dus). Zie stippellijn linker figuur. Stel: je neemt een wanddikte van 300 mm. Dan staat daar volgens het proportiesysteem een bepaalde lengte van de gang tegenover. De lengte van de wanden zijn hart op hart gemeten.
Hoe bepaal je deze lengte? De lengte 300 staat twee stappen boven de eerste stippellijn. De lengte van de gang staat dus net als de dikte van de wand twee stappen boven de tweede stippellijn. Nu is de juiste verhouding bepaald van de lengte van de gang.
300 mm x 7 = 2100 mm.
Waarom keer 7? Dit is het grootste toepasbare getal uit de getallenreeks die eerder voorbij is gekomen. Als je naar de rood gekleurde balkjes kijkt aan de linker kant van de afbeelding, is te zien dat het bovenste rode balkje, 7x zo groot is als het onderste rode balkje. Deze twee balken horen bij elkaar.
Hier zie je een tweede voorbeeld. Niet alleen staan de wanden met de gangen in verhouding, ook staan de wanden, gangen en de totale lengtes met elkaar in verhouding. Maar hier vinden we een bijzonderheid:
De groei die te zien is (figuur links boven) van de te gebruiken lengtes neemt exponentieel toe. Het verschil begint dus klein, maar wordt naarmate de aantal stappen toenemen steeds groter en groter. Ter verduidelijking: 3x3 = 9. 9 x3 = 27 en 27 x 3 = 81. Het verschil wordt dus snel steeds groter.
Eerder is uitgelegd dat mensen het gevoel voor proporties en harmonie kwijt raken als de verhoudingen te veel van elkaar verschelen. Hoewel er dus wel een verhouding voor komt in grote maatafwijkingen, is deze niet meer terug te zien. Dit gaat recht tegen het principe van van der Laan in. Daarom stelt hij een grens aan het maximale verschil in grootte en loopt de reeks zoals op de afbeelding te zien is niet oneindig door. Hoewel de verhouding dus een grotere lengte verlangt, is dit volgens van der Laan niet toegestaan.
De linker balk zou de juiste verhouding weer geven. Maar aangezien mensen het zicht zouden verliezen qua verhouding door de te grote verschillen in de afmetingen wordt dit niet toegepast. Daarvoor wordt de uiterste balk genomen van de reeks. Omdat deze voort komt uit de reeks blijft het gebouw wel passen binnen de proporties die van der Laan gebruikt.
Van der Laan let dus niet op specifiek de maten, maar alleen naar de verhoudingen onderling. Hij stelt hierbij een maximum, omdat de verhoudingen anders niet meer waar te nemen zijn. Maar een minimaal verschil is wellicht ook niet waar te nemen voor de mens. Er is dus ook een minimum gesteld aan de verhoudingen die voort moeten komen uit dit proportie systeem.
Het verloop van deze grafiek is te vergelijken met een logaritme. Dit figuur zal oneindig lang door lopen, zonder een maximum of minimum te bereiken. De stijging zal steeds sterker toe nemen, en de daling zal steeds sterker af nemen.
In hoeverre wordt het minimum bepaald? Met andere woorden, wat is de minimale verhouding die voor moet komen om hem zichtbaar te laten zijn voor mensen? De uitkomst van het plastisch getal is 1,3247… Dit staat gelijk aan de verhouding 4/3 (1,33333…). Daaruit kunnen wiskundige afgeleiden worden bepaald; de ‘toonsoort’: 1, 4/3, 7/4, 7/3, 3, 4, 16/3, 7 à let op! 8 getallen en dus 7 verhoudingen daartussen!
Als we gaan kijken naar de kleinste verhouding in de reeks die van der Laan toepast, blijkt deze 20:21 te zijn. Dit is natuurlijk bijna getal 1 en dus geen verhouding meer. Dit is de minimale waarde die nodig is om verhoudingen mee te maken die voor de mens meetbaar zijn. Wordt de verhouding nog kleiner, bijvoorbeeld 99:100 dan is dit niet meer zichtbaar. Hij is aan deze waarde gekomen, doordat de verhouding tussen de 7e en 8e ‘stap’ (gezien van links naar rechts) zich verhouden als 20:21.
De nog kleinere balkjes die omlijnd zijn door het rode kader die verhoudingen representeren komen dus niet voor in het proportiesysteem, omdat ze niet meetbaar en dus niet zichtbaar zijn.
We hebben het tot nu toe alleen maar gehad over de 1e orde termen uit de reeks. Deze 1e orde loopt dus van 1 t/m 7. De 2e orde heeft dezelfde verhouding, maar met andere getallen. Deze loopt van 7 t/m 49. De 3e orde loopt dus van 49 t/m 343 en de 4e van 343 t/m 2401.
“De wanddikte van een gebouw wordt als concrete begineenheid in deze reeks genomen en de reeks wordt verder uitgebreid tot het gebouw zelf, en uiteindelijk het stadskwartier. De grootte van de hele architectonische ruimte kan in dit stelsel gerelateerd worden aan vier opeenvolgende ordes van grootte, voor respectievelijk de primaire cel, het huis, de wijk en de stad of stadskwartier. De achtvoudige verhoudingsreeks van groottetypes, het "Plastisch Getal", van 1, 4:3, 7:4, 7:3, 3, 4, 16:3 en 7 in vier opeenvolgende ordes van grootte is dus de basis voor het matenstelsel. Van der Laan verkreeg zo een verhoudingssysteem dat hij als juist ervoer en dat hij als basis gebruikte voor het architectonisch ontwerp.
Deze leer werd veelvuldig gebruikt binnen de Bossche School.”
Bron citaat: http://nl.wikipedia.org/wiki/Plastisch_getal, donderdag 27 februari 2014.
Vraag 3: Hoe bepaalt Palladio de hoogte van ruimtes voor: A. Ruimtes met vlakke plafonds; B. Ruimtes met gewelfde plafonds?
A. Hoogte gelijk aan breedte van ruimte. Bovenliggende ruimte 4/5 x hoogte onderliggende ruimte.
B. Hoogte van een vierkante vlak (1) met 1/3 x breedte ruimte.
 |
| Hoogtes van gewelfde plafonds. |
Vraag 4: Benoem en omschrijf de 3 methode die Palladio gebruikt om de hoogtes van ruimtes te bepalen.
Voorbeeld 1 (rekenkundig): stel je ruimte is 6 x 12 voet, dan is de hoogte 9 voet.
Voorbeeld 2 (geometrisch): stel je ruimte is 4 x 9 voet, dan is de hoogte 6 voet.
Voorbeeld 3 (harmonisch): stel je ruimte is 6 x 12 voet dan is de hoogte 8 voet.
Nu rekenkundig uitgelegd:
Bij de rekenkundige methode wordt er gebruikt gemaakt van deze formule.
Hoogte = (lengte + breedte) : 2
Bij de geometrische methode wordt er gebruikt gemaakt van deze formule.
Hoogte = √(lengte x breedte)
Bij de harmonische methode wordt er gebruikt gemaakt van deze formule.
Hoogte = 2 x lengte x breedte : (lengte + breedte)
Nu schetsmatig uitgelegd:
Rekenkundig:
Stel ABCD is het grondvlak met de lengte en de breedte van een ruimte. Om de hoogte te vinden, teken je de breedte van AC naast de lengte van AB. Waardoor je lijn EB krijgt. Dan is de hoogte van de ruimte gelijk aan de helft van de lengte EB. Dat wordt dan punt F. De lengte FB is de hoogte voor het plafond.
Geometrisch:
Stel ABCD is het grondvlak met de lengte en de breedte van een ruimte. Om de hoogte te vinden, teken je breedte van AC naast de lengte van AB. Waardoor je lijn EB krijgt. De helft van EB wordt punt F. Punt F is de middelpunt waarop je de halve cirkel EGB tekent. Dan wordt AC verlengt tot dat het de cirkellijn bereikt in punt G. AG is dan de hoogte van de ruimte.
Harmonisch:
Stel ABCD is het grondvlak met de lengte en de breedte van een ruimte. Om de hoogte te vinden wordt de lijn AB verlengt met EA. De Afmeting van EA is de hoogte die je gevonden hebt in de eerste methode. Dan wordt de lijn ECF getekend en wordt BD verlengt tot dat het de lijn van ECF kruist in punt F. De hoogte van de ruimte is dan DF.
Vraag 5: Benoem en schets de 7 basisverhoudingen die Palladio hanteert voor de plattegronden voor ruimtes.
Palladio gebruikt een aantal basisverhoudingen in plattegronden zoals te zien is in weekopdracht 3 Nr. 4. In villa Foscari komen de verhoudingen 3:4, 1:1,
In villa Foscari:
- 12 x 16 voet (3:4)
- 16 x 16 voet (1:1)
- 16 x 24 voet (2:3)
- Zaal is 32 voet breed.
 |
| Plattegrond verhoudingen villa Foscari. |
Niet alleen de ruimtes op zich moeten kloppen volgens zijn ideeën, zoals dit normaalgesproken werd gedaan, maar heel het gebouw bestaat uit een bepaalde getallenreeks. Deze komt voort uit de muziek:
De muziek kent consonanties à Consonanten zijn samenklanken. Niet alle soorten tonen kun je zomaar samen aanslaan, dit klinkt niet altijd mooi. Hier zit en bepaald systeem in:
Kleine en grote terts, verhouding (5:6 en 4:5) http://nl.wikipedia.org/wiki/Terts_(muziek)
Kleine en grote sext, verhouding (5:8 en 3:5) http://nl.wikipedia.org/wiki/Sext_(muziek)
Kleine en grote decime, verhouding (5:12 en 2:5)
De elfde en de kleine en de grote sext in het hogere octaaf, verhouding (3:8 en 5:16 en 3:10)
Het bovenstaande heeft betrekking op de intervallen die de muziek kent. Een interval is een bepaalde muzikale afstand tussen twee tonen. Iedere (kloppende) afstand heeft zijn eigen naam. Een kleine of grote terts geeft dus een bepaalde afstand aan, dit geldt ook voor de andere verhoudingen die er onder staan.
Dit kun je zien als een soort harmonieën. Een harmonie zijn minstens twee tonen die samen een geheel vormen. Zoals hierboven beschreven kloppen deze tonen met elkaar. Als iemand bijvoorbeeld een muziekstuk op piano of gitaar aan het oefenen is, denk je soms “dat klopte niet”. Het klonk niet goed. Dit komt omdat er dan een toon aangeslagen wordt die niet in een bepaalde reeks, harmonie of toonsoort past. In het beginsel kent één muziekstuk bijna altijd maar één zo’n soort reeks of toonsoort. Als er dus een toon wordt aangeslagen die niet in de reeks past, ervaren we dit als niet – kloppend. Zo zit dit ook bij de proporties die Palladio gebruikt. Zijn gebouwen ‘kloppen’.
Zarlino (vòòr Palladio) wist dit rekenkundig kloppend te maken. Hij zag in dat het rekenkundige gemiddelde 3 tussen 2 en 4 (3 zit tussen 2 en 4 in) een octaaf in een kwint en een kwart verdeeld.
Een notenbalk kent de noten of tonen C E F G A B. Kijk je naar een piano, dan zie je veel meer toetsen. Deze reeks herhaalt zich een aantal maal. De C E F G A & B komen dus meerdere malen voor. Het verschil zit het hem in de snaarlengte; deze is de helft zo kort of lang bij het aanslaan van dezelfde toon. Sla je een lage C aan, en daarna een hogere, is de snaar dus de helft zo kort als die van de eerste en zo verder. Verhouding 1:2 dus.
Op de notenbalk wordt aangegeven dat je een C aan moet slaan; er zijn meerdere mogelijkheden. Tussen de twee C’s die hierboven afgebeeld staan zitten de D E F G A & B nog. De afstand die je af legt van de 1e C tot de 2e C wordt een octaaf genoemd. Dit geldt ook voor de D E F G A & B
De 3, het rekenkundige gemiddelde van 2 en 4, verdeeld zo’n snaar in een zogenaamde kwint en kwart. Een kwint houdt in 2/3 van een snaar, en een kwart houdt in 3/4 van een snaar. Een octaaf houdt dus in de helft van de snaar of 2x de snaar.
De elfde en de kleine en de grote sext in het hogere octaaf, verhouding (3:8 en 5:16 en 3:10)
Het bovenstaande heeft betrekking op de intervallen die de muziek kent. Een interval is een bepaalde muzikale afstand tussen twee tonen. Iedere (kloppende) afstand heeft zijn eigen naam. Een kleine of grote terts geeft dus een bepaalde afstand aan, dit geldt ook voor de andere verhoudingen die er onder staan.
Dit kun je zien als een soort harmonieën. Een harmonie zijn minstens twee tonen die samen een geheel vormen. Zoals hierboven beschreven kloppen deze tonen met elkaar. Als iemand bijvoorbeeld een muziekstuk op piano of gitaar aan het oefenen is, denk je soms “dat klopte niet”. Het klonk niet goed. Dit komt omdat er dan een toon aangeslagen wordt die niet in een bepaalde reeks, harmonie of toonsoort past. In het beginsel kent één muziekstuk bijna altijd maar één zo’n soort reeks of toonsoort. Als er dus een toon wordt aangeslagen die niet in de reeks past, ervaren we dit als niet – kloppend. Zo zit dit ook bij de proporties die Palladio gebruikt. Zijn gebouwen ‘kloppen’.
Zarlino (vòòr Palladio) wist dit rekenkundig kloppend te maken. Hij zag in dat het rekenkundige gemiddelde 3 tussen 2 en 4 (3 zit tussen 2 en 4 in) een octaaf in een kwint en een kwart verdeeld.
Een notenbalk kent de noten of tonen C E F G A B. Kijk je naar een piano, dan zie je veel meer toetsen. Deze reeks herhaalt zich een aantal maal. De C E F G A & B komen dus meerdere malen voor. Het verschil zit het hem in de snaarlengte; deze is de helft zo kort of lang bij het aanslaan van dezelfde toon. Sla je een lage C aan, en daarna een hogere, is de snaar dus de helft zo kort als die van de eerste en zo verder. Verhouding 1:2 dus.
Op de notenbalk wordt aangegeven dat je een C aan moet slaan; er zijn meerdere mogelijkheden. Tussen de twee C’s die hierboven afgebeeld staan zitten de D E F G A & B nog. De afstand die je af legt van de 1e C tot de 2e C wordt een octaaf genoemd. Dit geldt ook voor de D E F G A & B
De 3, het rekenkundige gemiddelde van 2 en 4, verdeeld zo’n snaar in een zogenaamde kwint en kwart. Een kwint houdt in 2/3 van een snaar, en een kwart houdt in 3/4 van een snaar. Een octaaf houdt dus in de helft van de snaar of 2x de snaar.
Daaruit vloeien dus de verhoudingen 2:3 en 3:4 en 1:2. Deze getallen blijken van de natuur uit te kloppen, we ervaren het in de muziek in ieder geval als prettig. Alle muziekstukken zijn opgebouwd uit dit soort verhoudingen. Er bestaan er nog veel meer: zie bijlage onderaan document.
Bij villa Foscari heeft Palladio gekozen voor een verhouding 12, 16, 24, 32. Dit kan dus gezien worden als de toonsoort van het gebouw: de getallenreeks. Alle tonen die je aan zou slaan in een muziekstuk, moeten dus voort komen uit deze getallen.
Dus je kunt de helft van 12 gebruiken. Of de 2/3 van 24 of 3:4 van 32 etc. Allerlei combinaties zijn mogelijk, maar ze zijn gebaseerd op de getallenreeks 12, 16, 24, 32.
In het blog zijn de verhoudingen uit onze villa terug te vinden. Deze zijn dus allemaal terug te koppelen naar de getallenreeks die hij gebruikt heeft.
Bijlage:
Hier is te zien dat er twee keer een C D E F G A B wordt aangegeven. Van de ene C naar de andere (dit geldt ook voor de andere tonen) noemt met één octaaf. Er zijn dus meerdere octaven.
Lijst met consonanties:
1/1 reine priem, unisono
2/1 octaaf
3/2 reine kwint
4/3 reine kwart
4/1 dubbeloctaaf
5/2 grote decime
5/3 grote sext, BP sext
5/4 grote terts
6/5 kleine terts
… … …
125/72 klassieke overmatige sext
125/96 klassieke overmatige terts
125/108 supra-secunde
125/112 klassieke vergrote halve toon
126/125 klein septimaal komma
128/75 verminderde septiem
128/81 Pythagoreïsche kleine sext
128/105 septimale neutrale terts
128/121 undecimale halve toon
128/125 kleine diëze, diëze
… … …
1224440064/1220703125 parakleisma
6115295232/6103515625 Vishnu komma
274877906944/274658203125 semithirds komma
19073486328125/19042491875328 '19-toons' komma
450359962737049600/450283905890997363 monzisma
36893488147419103232/36472996377170786403 '41-toons' komma
19383245667680019896796723/19342813113834066795298816 Mercators komma
*Niet alle combinaties worden gebruikt, zelfs de grootste muziekanten uit de geschiedenis waren niet bezig met bijvoorbeeld de semithirds komma. Deze komt meer per toeval voor. De belangrijkste zijn de 1e 6. Deze komen het meest voor en worden als het meest prettig ervaren.
Vraag 6: Omschrijf en schets de ontdekking van Phythagoras dat tonen ruimtelijk meetbaar zijn.
San Fransesco della Vigna, Venetië:
Het schip van de kerk is 9 dubbelpassen breed. Want het kwadraat van 3 = 9. 3
Waarom 3?: Drie is het eerste écht getal, omdat het een begin, midden en eind heeft. Drie is een goddelijk getal.
De lengte bestaat uit 3 x 9 = 27 dubbelpassen. Gebruik van getal 3, 9 en 27. (zie in: allemaal opgebouwd uit het getal drie.)
Het gaat echter niet om de getallen op zich, maar om de verhouding onderling. Het gebouw is dus opgebouwd uit een getallenreeks, alles is opgebouwd vanuit één reeks.
Dit komt voort uit de muziek: In het voorbeeld van deze kerk, verhoudt het gebouw een diapson (octaaf) en een diapente (kwint).
Octaaf: heeft in de muziek een verhouding van 1:2. Dat betekend dat als je een bepaalde toon aanslaat en daarna nog een, de tweede toon precies twee keer zo hoog of twee keer zo laag is.
Dit komt omdat de snaarlengte precies twee keer zo kort (hoge toon) of twee keer zo lang (lage toon) is. Deze sprong herhaalt zich meerder keren.
Kwint: heeft in de muziek een verhouding van 2:3. Dat betekend dat als je een bepaalde toon aanslaat en daarna nog een, de tweede toon precies 2/3 zoo hoog of 2/3 keer zo laag is. Dit komt omdat de snaarlengte precies 2/3 keer zo kort (hoge toon) of twee keer zo lang (lage toon) is. Deze sprong herhaalt zich meerdere keren.
Dit geldt ook voor een kwart: 3:4. Etc. etc.
Van hieruit kun je complete muziekstukken opbouwen. Zo heb je ook een consonantie (samenklank) die bestaat uit een octaaf en een kwint, of een octaaf en een kwart bijvoorbeeld. Er bestaat op deze manier een grote variatie in de muziek, maar deze variaties zijn altijd opgebouwd vanuit een bepaalde verhouding.
Pythagoras was degene die inzag dat als je een snaar precies de helft zo lang of kort maakte (verhouding 1:2, dus octaaf) de toonhoogten deze verhouding volgen. En zo ook dus voor de kwint en kwart etc. Daar van uit werden getallenreeksen opgezet. De belangrijkste uit de tijd staat hieronder weergegeven:
Octaaf: 1, 2, 4, 8 (x2)
Kwint: 1,3, 9, 27 (x3)
Daarmee ook de kwart en andere verhoudingen:
 |
| Verhoudings Piramide. |
De harmonie van de wereld: de harmonie zoals de muziek deze kent, de harmonie zoals de mens hem kent. Deze verhoudingen onderling vormen ook consonanties. Dit komt dus terug in de gebouwen van Palladio.
Men geloofde dat de hele wereld was opgebouwd, of in ieder geval op gebouwd hoorde te worden met als grondslag deze verhoudingen. Het begint met een eenheid, zich verdubblend tot de derde macht van twee, dat aich verdrievoudigd tot de derde macht van drie (3^3 = 27). De wereld is 3D, dus verder dan de derde macht van drie kan men niet gaan. Deze dimensie bestaat niet. Daarom is 27 het ‘uiterste’ getal.
 |
| Verhoudingen Octaaf en Kwint. |
Vraag 7: Wat is het Plastisch Getal?
Het plastisch getal is in de architectuur een speciale verhouding waarmee een hele reeks van met elkaar verbonden verhoudingen samenhangt. Deze verhoudingen vormen de grondslag van een verhoudingenleer, ontwikkeld door de priester en architect Dom Hans van der Laan (1904-1991). Het plastisch getal wordt vaak aangeduid met de Griekse letter ψ (psi).Hans van der Laan heeft twee wegen bewandeld. Hij heeft geëxperimenteerd met het op het oog sorteren van groottes, en een wiskundig pad gevolgd. Beide wegen voerden hem naar hetzelfde verhoudingsgetal.
Als wij op het oog iets doormidden delen, zijn de twee delen zelden precies gelijk. Toch noemen we ze ‘even groot’. Binnen een bepaald marge ervaren we dingen als ‘even groot’. Worden de grenzen van die marge overschreden dan ervaren we dingen als ‘groter’ of ‘kleiner’. Experimenterend concludeerde Van der Laan welk verhoudingsgetal die grenzen bepaalt. Wat grofweg driekwart (3/4) kleiner is, of omgekeerd dus eenderde (4/3) groter, zit voor ons gevoel op de grens van de marge waarbinnen we iets ’even groot’ noemen.
Het wiskundige pad dat hij volgde vertoont overeenkomsten met de Gulden Snede. De Gulden Snede gaat uit van twee dimensies, ook in veel klassieke architectuur kunnen we de toepassing van de Gulden Snede terugvinden. Van der Laan nam een principieel ander uitgangspunt. Omdat architectuur driedimensionaal is moet voor ruimtelijke verhoudingen uitgegaan worden van drie dimensies (hoogte, breedte en diepte). Dat leidt tot een ander verhoudingsgetal dan de Gulden Snede. Het is, om precies te zijn: 1,324718. Ter vergelijking, de Gulden Snede is 1,61803.
Het plastisch getal in driedimensionaal wiskundig uitgelegd:
Hans van der Laan heeft het de naam ‘Plastisch Getal’ gegeven, om aan te duiden dat het betrekking heeft op ‘plastische’, dus ruimtelijke, vormen
Voor een goed begrip: het Plastisch Getal legt geen maten vast, alsof je alleen bepaalde maten zou mogen gebruiken, maar is een maatstaf voor de verhouding tussen maten. Het is dus een verhoudingsgetal.
 |
| Plastisch getal maatstaaf. |
Orde van grootte
Hoe ervaart de mens het als verschillen in grootte te groot worden? Zo groot dat de verhoudingen zoek raken en je er geen eenheid meer in ziet? Het Plastisch Getal geeft een bepaalde verhouding weer. Maar als de onderlinge verschillen in de maten te groot worden, ziet men de eenheid niet meer. De verhouding bestaat dus nog wel, maar men ervaart het niet meer.
Van der Laan heeft (door middel van ingewikkelde wiskundige berekeningen) bepaald dat je net als in de muziek bij zeven opeenvolgende maten een samenhangende reeks hebt. Ter vergelijking: do-re-mi-fa-sol-la-ti-do. (8 ‘maten’, dus 7 stappen). Na deze 7 stappen, volgt de nieuwe orde van grootte.
 |
| Een samenhangende reeks. |
Morphotheek (de blokkendoos)
De morphotheek, of te wel de blokkendoos, bestaat uit 36 verschillende vormen die verkregen zijn door acht maten uit het matenstelsel te combineren. Dit gebeurd door het basiselement te vermenigvuldigen met het plastisch getal 1.3247. Iedere rechthoekige vorm bestaat uit drie dimensies: lengte, breedte en hoogte. De hoogte is in de horizontale morphotheek reeks constant gehouden en in de verticale morphotheek reeks is de breedte constant. In het raster zijn er verschillende groepen zijn te herkennen; een groep met blokken (blauw), hierbij verschillen de drie maten lengte, breedte en hoogte niet zoveel van elkaar, een groep met staven (rood), hierbij is de lengte aanzienlijk langer dan de breedte en de hoogte, platen (groen) waarbij de breedte minder is dan de hoogte en de lengte en tot slotte de blanken, die zowel als een blok, staaf en plaat gezien kan worden. De basis van het raster start rechts onderin met een vierkant en gaat van recht naar links, van onderen naar boven.
Om uit te komen op het driedimensionale verhoudingssysteem, moeten enkele stappen worden gevolgd.
Het principe van de eerste stap uit het tweedimensionale blokkensysteem, kan het beste worden uitgelegd aan de hand van een voorbeeld:
Stel dat het kleinste blokje rechts onder 0.4 bedraagt. Het tweede blokje is dan het plastisch getal, 1.3247 keer groter in de lengte. Je krijgt een horizontale werking van rechts naar links. Het derde blokje is weer 1.3247 keer groter dan het tweede blokje. De som van de eerste en het tweede blokje geeft de lengte van het vierde blokje. Dit geeft het volgende:
Blokje 1: 0.4
Blokje 2: 0.4*1.3247=0.5298
Blokje 3: 0.5*1.3247=0.7019
Blokje 4: 0.7*1.3247=0.9298 dit is de som van het eerste en het tweede blokje (0.4+0.5298)
Etc.
 |
| Raster van verhoudingen volgens het plastisch getal. |
Deze berekening gaat door tot en met acht. De reden hiervan zit in de muziek, waarbij de toonladder uit acht klanken bestaan. Wanneer een hele reeks gevormd is, word hetzelfde gedaan met de hoogte van het eerste blokje rechts onderin, in verticale richting van beneden naar boven. Hieruit ontstaat een raster, van 36 eenheden die bestaan uit blokken, staven, platen en blanken (zowel blok, staaf als plaat). Zoals eerder vermeld, vertolken deze ieder een eigen kleur;
Blauw = blokken
Rood = staven
Groen = platen
Wit = blanken (zowel blok, staaf als plaat)
 |
| Verdeling van de kleuren en eenheden. |
In het raster bevindt zich een middellijn, waaronder de blokken, staven en platen gespiegeld zijn. In de volgende stap, gaan we kijken hoe het raster driedimensionaal wordt.
 |
| Middellijn. |
Enkel het onderste deel van de middellijn inclusief de vormen op de middellijn, worden gebruikt. Deze wordt verdubbeld, rechtop gezet en gespiegeld, waardoor er een tweede vlak ontstaat, aangrenzend aan de eerste (foto 1). Hierna worden er lijnen getrokken vanaf de rechterbovenhoek van het rechtopstaande vlak, naar de linkeronderhoek van het platte vlak. Dit gebeurd voor iedere rij elementen (foto 2). Daarna worden de blokken, staven en platen op de juiste hoogte gestapeld. Het grondvlak omvat alle elementen. Per rij, gezien vanaf het rechtopstaande vlak, wordt het een rij minder op het grondvlak (foto 3-4-5). De bovenste rij, bestaat uiteindelijk nog maar uit één element (foto 6).
 |
| Foto 1 |
 |
| Foto 2 |
 |
| Foto 3 |
 |
| Foto 4 |
 |
| Foto 5 |
 |
| Foto 6 |
Ook is er een matenreeks in de morphotheek te vinden. De verhoudingen van de verschillende elementen, hebben ook een betekenis. Deze zijn; 16 (1/7) 21 (1/5) 28 (1/4) 37 (1/3) 49 (3/7) 65 (4/7) 86 (3/4) 114 (1). In totaal dus acht, de acht klanken uit de toonladder. Zo komt ook hier de muziek weer terug in de verhoudingen, net zoals bij de goddelijke verhoudingen die de architecten tijdens de renaissance gebruikten.
Vraag 8: Hoe wordt het Plastisch Getal toegepast in de Abdij St. Benedictusberg?
Voor een goed beeld en extra informatie zie: http://www.morphothek.de/analyse_musterkirche.htm
Zoals uitgelegd vloeit er vanuit het proportiesysteem een georganiseerde structuur. (Blauw staat in verhouding tot groen en rood, rood tot groen en blauw etc.) Zoals Palladio een ‘toonsoort’ gebruikt voor zijn gebouwen, kan hier ook zo’n soort reeks toegepast worden. De getallen 1, 4/3, 7/4, 7/3, 3, 4, 16/3, 7 zijn het belangrijkst.
1) Gebouwstructuur. Kies basis figuren, van hieruit ga je opbouwen.
 |
| 8 Verdelingen van blokken, dus 7 verhoudingsstappen; laatste getal uitgetallen reeks hierboven. |
2) Gebouwstructuur. Bouw verder door figuren uit structuur te kiezen.
 |
| Structuur. |
3) Gebouwstructuur. De hoofdstructuur is ontworpen.
 |
| Hoofdstructuur. |
Wanddiktes en de ruimtes daartussen.
 |
| Wanddiktes en gangen. |
Het proportiesysteem is verdeeld in 3x 10 delen. (30 in totaal dus). Zie stippellijn linker figuur. Stel: je neemt een wanddikte van 300 mm. Dan staat daar volgens het proportiesysteem een bepaalde lengte van de gang tegenover. De lengte van de wanden zijn hart op hart gemeten.
Hoe bepaal je deze lengte? De lengte 300 staat twee stappen boven de eerste stippellijn. De lengte van de gang staat dus net als de dikte van de wand twee stappen boven de tweede stippellijn. Nu is de juiste verhouding bepaald van de lengte van de gang.
300 mm x 7 = 2100 mm.
Waarom keer 7? Dit is het grootste toepasbare getal uit de getallenreeks die eerder voorbij is gekomen. Als je naar de rood gekleurde balkjes kijkt aan de linker kant van de afbeelding, is te zien dat het bovenste rode balkje, 7x zo groot is als het onderste rode balkje. Deze twee balken horen bij elkaar.
Hier zie je een tweede voorbeeld. Niet alleen staan de wanden met de gangen in verhouding, ook staan de wanden, gangen en de totale lengtes met elkaar in verhouding. Maar hier vinden we een bijzonderheid:
 |
| Verhouding wanden, gangen en de totale lengte. |
De groei die te zien is (figuur links boven) van de te gebruiken lengtes neemt exponentieel toe. Het verschil begint dus klein, maar wordt naarmate de aantal stappen toenemen steeds groter en groter. Ter verduidelijking: 3x3 = 9. 9 x3 = 27 en 27 x 3 = 81. Het verschil wordt dus snel steeds groter.
Eerder is uitgelegd dat mensen het gevoel voor proporties en harmonie kwijt raken als de verhoudingen te veel van elkaar verschelen. Hoewel er dus wel een verhouding voor komt in grote maatafwijkingen, is deze niet meer terug te zien. Dit gaat recht tegen het principe van van der Laan in. Daarom stelt hij een grens aan het maximale verschil in grootte en loopt de reeks zoals op de afbeelding te zien is niet oneindig door. Hoewel de verhouding dus een grotere lengte verlangt, is dit volgens van der Laan niet toegestaan.
 |
| Een te grote lengte, is hier niet gewenst. |
De linker balk zou de juiste verhouding weer geven. Maar aangezien mensen het zicht zouden verliezen qua verhouding door de te grote verschillen in de afmetingen wordt dit niet toegepast. Daarvoor wordt de uiterste balk genomen van de reeks. Omdat deze voort komt uit de reeks blijft het gebouw wel passen binnen de proporties die van der Laan gebruikt.
Van der Laan let dus niet op specifiek de maten, maar alleen naar de verhoudingen onderling. Hij stelt hierbij een maximum, omdat de verhoudingen anders niet meer waar te nemen zijn. Maar een minimaal verschil is wellicht ook niet waar te nemen voor de mens. Er is dus ook een minimum gesteld aan de verhoudingen die voort moeten komen uit dit proportie systeem.
Het verloop van deze grafiek is te vergelijken met een logaritme. Dit figuur zal oneindig lang door lopen, zonder een maximum of minimum te bereiken. De stijging zal steeds sterker toe nemen, en de daling zal steeds sterker af nemen.
 |
| Minimale verhouding. |
In hoeverre wordt het minimum bepaald? Met andere woorden, wat is de minimale verhouding die voor moet komen om hem zichtbaar te laten zijn voor mensen? De uitkomst van het plastisch getal is 1,3247… Dit staat gelijk aan de verhouding 4/3 (1,33333…). Daaruit kunnen wiskundige afgeleiden worden bepaald; de ‘toonsoort’: 1, 4/3, 7/4, 7/3, 3, 4, 16/3, 7 à let op! 8 getallen en dus 7 verhoudingen daartussen!
Als we gaan kijken naar de kleinste verhouding in de reeks die van der Laan toepast, blijkt deze 20:21 te zijn. Dit is natuurlijk bijna getal 1 en dus geen verhouding meer. Dit is de minimale waarde die nodig is om verhoudingen mee te maken die voor de mens meetbaar zijn. Wordt de verhouding nog kleiner, bijvoorbeeld 99:100 dan is dit niet meer zichtbaar. Hij is aan deze waarde gekomen, doordat de verhouding tussen de 7e en 8e ‘stap’ (gezien van links naar rechts) zich verhouden als 20:21.
De nog kleinere balkjes die omlijnd zijn door het rode kader die verhoudingen representeren komen dus niet voor in het proportiesysteem, omdat ze niet meetbaar en dus niet zichtbaar zijn.
We hebben het tot nu toe alleen maar gehad over de 1e orde termen uit de reeks. Deze 1e orde loopt dus van 1 t/m 7. De 2e orde heeft dezelfde verhouding, maar met andere getallen. Deze loopt van 7 t/m 49. De 3e orde loopt dus van 49 t/m 343 en de 4e van 343 t/m 2401.
“De wanddikte van een gebouw wordt als concrete begineenheid in deze reeks genomen en de reeks wordt verder uitgebreid tot het gebouw zelf, en uiteindelijk het stadskwartier. De grootte van de hele architectonische ruimte kan in dit stelsel gerelateerd worden aan vier opeenvolgende ordes van grootte, voor respectievelijk de primaire cel, het huis, de wijk en de stad of stadskwartier. De achtvoudige verhoudingsreeks van groottetypes, het "Plastisch Getal", van 1, 4:3, 7:4, 7:3, 3, 4, 16:3 en 7 in vier opeenvolgende ordes van grootte is dus de basis voor het matenstelsel. Van der Laan verkreeg zo een verhoudingssysteem dat hij als juist ervoer en dat hij als basis gebruikte voor het architectonisch ontwerp.
Deze leer werd veelvuldig gebruikt binnen de Bossche School.”
Bron citaat: http://nl.wikipedia.org/wiki/Plastisch_getal, donderdag 27 februari 2014.
Geen opmerkingen:
Een reactie posten